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即，伯克利基数。
所谓伯克利基数，其定义简单来讲……便是若伯克利基数是ZF集合论模型中的基数，那么它对于每个包含k和α＜的传递集M，就都会存在一个非平凡的基本嵌入M→M，且α＜临界点＜。
没错，莱因哈特基数属于j：V→V的非平凡初等嵌入，而伯克利基数则属于M→M的非平凡初等嵌入。
若展开性阐述，即是假设所有的传递集M，都有到其自身的非平凡初等嵌入j：M→M。
并且在这些初等嵌入当中，总能选出一个，当它的关键点crt(jM)在某个足够大的基数之下，这样的，就被称为proto-伯克利基数。
注意，就像Σ-世界基数并非世界基数一样，proto-伯克利基数也并非伯克利基数，两者不是一回事。
总之，只要是proto-伯克利基数，那么所有比更大的序数，就全都是proto-伯克利基数。
不过这样就有些过于广泛了，所以当对其进行限制后，就会得到伯克利基数：
即，对任意固定的传递集M，可将那些非平凡初等嵌入j：M→M全部收集起来，记为(M)。
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